Statistical Learning from Imperfect Observations under Prior Ignorance

Il progetto si focalizza su un setup statistico Bayesiano generalizzato che utilizza insiemi di distribuzioni probabilistiche per modellare la conoscenza pregressa. Facciamo l´ipotesi realistica che le osservazioni utilizzate per aggiornare "prior to posterior beliefs" possono non essere perfette o, in altre parole, che sono il risultato di un processo di osservazione imperfetto. Il nostro principale interesse è il seguente: cosa succede all´apprendimento statistico quando partiamo da condizioni di ignoranza a priori in merito ad un campo e il campione disponibile è il risultato di un processo di osservazione imperfetto? La nostra ricerca precedente ha dato una prima importante e sorprendente risposta a questa domanda: le condizioni di cui sopra impediscono all´apprendimento di aver luogo, in quanto l´ignoranza a priori e le osservazioni imperfette sembrano essere incompatibili. Questo risultato è stato derivato in un setup statistico multinomiale, che modellizza l´ignoranza a priori utilizzando un insieme di distribuzioni di Dirichlet e considerando il caso particolare del processo di osservazione imperfetto che consente alle osservazioni di essere confuse l´un l´altra, date le probabilità. In un secondo tempo, abbiamo esteso il setup a qualsiasi set di distribuzioni a priori che modellizza l´ignoranza a priori e ai processi generali di osservazione imperfetti. Ciò ci ha permesso di generalizzare i risultati precedenti ottenendo una condizione necessaria che stabilisce dei limiti precisi alla possibilità di apprendere a partire da ignoranza. Visto che l´ignoranza a priori è un´ipotesi rilevante per l´inferenza statistica, i nostri risultati sembrano sollevare una questione importante che sta alla base della statistica. Proponiamo di studiare la questione secondo due principali linee di ricerca. Secondo la prima, consideriamo il caso dei processi di osservazione quasi-perfetti. Siamo di fronte a delle osservazioni quasi-perfette quando la probabilità di errore nelle osservazioni è piccola. Questo caso è particolarmente interessante per le applicazioni in cui questa piccola probabilità viene trascurata in favore di modelli per le osservazioni perfette. Tuttavia i nostri risultati teorici mostrano una differenza enorme tra i modelli con osservazioni perfette ed imperfette, dato che l´apprendimento viene ostacolato anche quando la probabilità di errore è piccola. In questo caso, la pratica comune si scontra con i nostri risultati teorici. Risulta perciò importante stabilire delle condizioni precise che permettano di applicare gli approcci tradizionali e di valutare la perdita applicandoli al di fuori di queste condizioni. È anche importante sviluppare nuovi metodi che trattino le osservazioni quasi-perfette che siano alternativi al trascurare semplicemente la probabilità di errore. Nella seconda linea di ricerca, consideriamo il problema generale di apprendere da osservazioni imperfette a partire da ignoranza. Per quanto riguarda il quadro generale, generalizzeremo innanzitutto i precedenti risultati per ottenere le condizioni necessarie e sufficienti per apprendere a partire da ignoranza. In un secondo tempo, studieremo le ipotesi minime che permettono all´apprendimento di aver luogo, in modo da fornire ipotesi alternative a quelle utilizzate attualmente in situazioni di ignoranza a priori.